[FONT="]Bu ders notumuzda Matematik dersinin Parabol konusu altında; Parabol Nedir? Parabolün Tepe Noktası, Grafiği Verilen Parabolün Denkleminin Yazılması, (Ekseni Kestiği Noktalar Biliniyorsa, Tepe Noktası Biliniyorsa, Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa) Parabol ile Doğrunun Düzlemdeki Durumu vb. başlıklar hakkında detaylı bilgileri bulabilirsiniz.[/FONT]
[h=1]Parabol[/h][FONT="]PARABOL TANIM[/FONT]
[FONT="]a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.[/FONT]
[h=3]PARABOLÜN TEPE NOKTASI[/h][FONT="]1) f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası[/FONT]
[FONT="]T(r, k) olmak üzere,[/FONT]
[FONT="]
[/FONT]
[FONT="]Ü Parabol
doğrusuna göre simetriktir.[/FONT]
[FONT="]
[/FONT]
[FONT="]
doğrusu parabolün simetri eksenidir.[/FONT]
[h=3]GRAFİÐİN EKSENLERİ KESTİÐİ NOKTALAR[/h][FONT="]Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun.[/FONT]
[FONT="]ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x1, 0), B(x2, 0), C(0, c) dir.[/FONT]
[FONT="]
[/FONT]
[FONT="]Ü ax2 + bx + c = 0 denkleminde[/FONT]
[FONT="]D. x2 NİN KATSAYISI OLAN a NIN İŞARETİ[/FONT]
[FONT="]2) a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktası-nın ordinatı olan k dır.[/FONT]
[FONT="]3) |a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yandaki parabollere göre, f deki x2 nin katsayısı, g deki x2 nin katsayısından büyüktür.[/FONT]
[FONT="]f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,[/FONT]
[FONT="]1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur.[/FONT]
[FONT="]2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.[/FONT]
[FONT="]3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.[/FONT]
[h=3]GRAFİÐİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI[/h][h=5]1. Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa[/h]
[FONT="]y = f(x) = a(x – x1) (x – x2) … (1) dir.[/FONT]
[FONT="]Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.[/FONT]
[h=5]2. Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa[/h]
[FONT="]y = f(x) = a(x – r)2 + k … (1) dir.[/FONT]
[FONT="]Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.[/FONT]
[h=5]3. Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa[/h]
[FONT="]y1 = ax12 + bx1 + c … (1)[/FONT]
[FONT="]y2 = ax22 + bx2 + c … (2)[/FONT]
[FONT="]y3 = ax32 + bx3 + c … (3)[/FONT]
[FONT="]Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.[/FONT]
[h=5]PARABOL İLE DOÐRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU[/h][FONT="]y = f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.[/FONT]
[FONT="]f(x) = g(x)[/FONT]
[FONT="]ax2 + bx + c = mx + n[/FONT]
[FONT="]ax2 + (b – m)x + c – n = 0 … (*)[/FONT]
[FONT="](*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.[/FONT]
[FONT="]Buna göre, (*) denkleminde;[/FONT]
[h=1]Parabol[/h][FONT="]PARABOL TANIM[/FONT]
[FONT="]a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.[/FONT]
| İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir.Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir. |
[FONT="]T(r, k) olmak üzere,[/FONT]
[FONT="]
[FONT="]Ü Parabol
[FONT="]
[FONT="]
| y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(r, k) dır. |
[FONT="]ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x1, 0), B(x2, 0), C(0, c) dir.[/FONT]
[FONT="]
[FONT="]Ü ax2 + bx + c = 0 denkleminde[/FONT]
- D = b2 – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser.
- D = b2 – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini kesmez.
- D = b2 – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine teğettir.
[FONT="]D. x2 NİN KATSAYISI OLAN a NIN İŞARETİ[/FONT]
| 1) |
| a>0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup,f(x),in en küçük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır. |
| .a>0 ise parabolün kolları aşağı doğru olup f(fx) in en büyük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır. |
| |a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre , yandaki parabollere göre ,f deki x2 nin katsayısı g deki x2 nin katsayısından büyüktür |
[FONT="]1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur.[/FONT]
[FONT="]2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.[/FONT]
[FONT="]3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.[/FONT]
[h=3]GRAFİÐİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI[/h][h=5]1. Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa[/h]
|
[FONT="]Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.[/FONT]
[h=5]2. Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa[/h]
|
[FONT="]Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.[/FONT]
[h=5]3. Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa[/h]
|
[FONT="]y2 = ax22 + bx2 + c … (2)[/FONT]
[FONT="]y3 = ax32 + bx3 + c … (3)[/FONT]
[FONT="]Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.[/FONT]
[h=5]PARABOL İLE DOÐRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU[/h][FONT="]y = f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.[/FONT]
[FONT="]f(x) = g(x)[/FONT]
[FONT="]ax2 + bx + c = mx + n[/FONT]
[FONT="]ax2 + (b – m)x + c – n = 0 … (*)[/FONT]
[FONT="](*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.[/FONT]
[FONT="]Buna göre, (*) denkleminde;[/FONT]
- D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser.
- D< 0 ise, parabol ile doğru kesişmez.
- D = 0 ise, parabol doğruya teğettir.