[FONT="]Bu ders notumuzda Matematik dersinin Kartezyen Çarpımı ve Bağıntı konusu altında; Kartezyen Çarpımı Nedir? Kartezyen Çarpımının Özellikleri, Bağıntı Nedir? Bağıntının Özellikleri, Bağıntı Çeşitleri vb. başlıklar hakkında detaylı bilgileri bulabilirsiniz.[/FONT]
[h=1]Kartezyen Çarpımı ve Bağıntı[/h][FONT="] A. SIRALI n Lİ[/FONT]
[FONT="]n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.[/FONT]
[FONT="](a, b) sıralı ikilisinde;[/FONT]
[FONT="]a ya birinci bileşen, b ye ikinci bileşen denir.[/FONT]
[h=3]B. KARTEZYEN ÇARPIM[/h][FONT="]A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.[/FONT]
[FONT="]A kartezyen çarpım B kümesi A ´ B ile gösterilir.[/FONT]
[FONT="]A ´ B = {(x, y) : x Î A ve y Î B} dir.[/FONT]
[h=3]C. KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELİKLERİ[/h]
[FONT="]Bağıntı genellikle b ile gösterilir.[/FONT]
[FONT="]b Ì A ´ B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A ´ B} dir.[/FONT]
[h=3]E. BAÐINTININ ÖZELİKLERİ[/h][FONT="]b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.[/FONT]
[FONT="]1. Yansıma Özeliği[/FONT]
[FONT="]
A kümesinin bütün x elemanları için (x, x) Î b ise, b yansıyandır.[/FONT]
[FONT="]“x Î A için, (x, x) Î b ise, b yansıyandır. (“ : Her)[/FONT]
[FONT="]2. Simetri Özeliği[/FONT]
[FONT="]
b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) Î b ise, b simetriktir.[/FONT]
[FONT="]“(x, y) Î b için (y, x) Î b ise, b simetriktir.[/FONT]
[FONT="] [/FONT]
[FONT="]3. Ters Simetri Özeliği[/FONT]
[FONT="]
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.[/FONT]
[FONT="]x ¹ y iken “(x, y) Î b için (y, x) Ï b ise, b ters simetriktir.[/FONT]
[FONT="]4. Geçişme Özeliği[/FONT]
[FONT="]
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.[/FONT]
[FONT="]“[(x, y) Î b ve (y, z) Î b] için (x, z) Î b ise,[/FONT]
[FONT="]b bağıntısının geçişme özeliği vardır.[/FONT]
[h=3]F. BAÐINTI ÇEŞİTLERİ[/h][FONT="]
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.[/FONT]
[FONT="]1. Denklik Bağıntısı[/FONT]
[FONT="]b; Yansıma, Simetri, Geçişme özeliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır.[/FONT]
[FONT="]2. Sıralama Bağıntısı[/FONT]
[FONT="]
A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özeliği varsa b sıralama bağıntısıdır.[/FONT]
[FONT="] [/FONT]
[h=1]Kartezyen Çarpımı ve Bağıntı[/h][FONT="] A. SIRALI n Lİ[/FONT]
[FONT="]n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.[/FONT]
[FONT="](a, b) sıralı ikilisinde;[/FONT]
[FONT="]a ya birinci bileşen, b ye ikinci bileşen denir.[/FONT]
| a ¹ b ise, (a, b) ¹ (b, a) dır.(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir. |
[FONT="]A kartezyen çarpım B kümesi A ´ B ile gösterilir.[/FONT]
[FONT="]A ´ B = {(x, y) : x Î A ve y Î B} dir.[/FONT]
| A ¹ B ise, A ´ B ¹ B ´ A dır. |
- 1) s(A) = m ve s(B) = n ises(A ´ B) = s(B ´ A) = m × n dir.
- A ´ (B ´ C) = (A ´ B) ´ C
- A ´ (B È C) = (A ´ B) È (A ´ C)
- (B È C) ´ A = (B ´ A) È (C ´ A)
- A ´ (B Ç C) = (A ´ B) Ç (A ´ C)
- (B Ç C) ´ A = (B ´ A) Ç (C ´ A)
- A ´ Æ = Æ ´ A = Æ
-
[FONT="]Bağıntı genellikle b ile gösterilir.[/FONT]
[FONT="]b Ì A ´ B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A ´ B} dir.[/FONT]
| Ü | s(A) = m ve s(B) = n ise,A dan B ye 2m×n tane bağıntı tanımlanabilir. |
| Ü | A ´ A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir. |
| Ü | s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m × n) bağıntı sayısı
|
| Ü | b Ì A ´ B olmak üzere,b = {(x, y) : (x, y) Î A ´ B} bağıntısının tersib–1 Ì B ´A dır.Buna göre, b bağıntısının tersib–1 = {(y, x) : (x, y) Î b} dır. |
[FONT="]1. Yansıma Özeliği[/FONT]
[FONT="]
A kümesinin bütün x elemanları için (x, x) Î b ise, b yansıyandır.[/FONT]
[FONT="]“x Î A için, (x, x) Î b ise, b yansıyandır. (“ : Her)[/FONT]
[FONT="]2. Simetri Özeliği[/FONT]
[FONT="]
b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) Î b ise, b simetriktir.[/FONT]
[FONT="]“(x, y) Î b için (y, x) Î b ise, b simetriktir.[/FONT]
| Ü | b bağıntısı simetrik ise b = b–1 dir. |
| Ü | s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı
|
| Ü | s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı
|
[FONT="]3. Ters Simetri Özeliği[/FONT]
[FONT="]
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.[/FONT]
[FONT="]x ¹ y iken “(x, y) Î b için (y, x) Ï b ise, b ters simetriktir.[/FONT]
| b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özeliğini bozmaz. |
[FONT="]
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.[/FONT]
[FONT="]“[(x, y) Î b ve (y, z) Î b] için (x, z) Î b ise,[/FONT]
[FONT="]b bağıntısının geçişme özeliği vardır.[/FONT]
| Boş kümeden farklı bir A kümesinde tanımlanan b = Æ bağıntısında yansıma özeliği yoktur. Simetri, Ters simetri, geçişme özeliği vardır. |
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.[/FONT]
[FONT="]1. Denklik Bağıntısı[/FONT]
[FONT="]b; Yansıma, Simetri, Geçişme özeliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır.[/FONT]
[FONT="]2. Sıralama Bağıntısı[/FONT]
[FONT="]
A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özeliği varsa b sıralama bağıntısıdır.[/FONT]
| Bir bağıntı hem denklik, hem de sıralama bağıntısı olabilir |
| Ü | b, A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı olsun. (x, y) Î b ise x ve y elemanları b bağıntısına göre denktir denir ve x º y şeklinde yazılır. |
| Ü | b, A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı olsun. A da x elemanına denk olan bütün elemanların kümesine x in denklik sınıfı denir ve
|