[FONT="]Bu ders notumuzda Matematik Çarpanlara Ayırma başlığı altında; Ortak Çarpan Parantezine Alma,İki Kare Farkı – Toplamı, İki Küp Farkı – Toplamı, n. Dereceden Farkı – Toplamı, Pascal Üçgeni, ax2 + bx + c biçimindeki terimlerin çarpanlara ayrılması vb.konular hakkında detaylı bilgileri bulabilirsiniz.[/FONT]
[h=1]Çarpanlarına Ayırma[/h][h=3]A. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA[/h][FONT="]
[/FONT]
[h=3]B. ÖZDEŞLİKLER[/h][h=5]1. İki Kare Farkı – Toplamı[/h][FONT="]1) a2 – b2 = (a – b)(a + b)[/FONT]
[FONT="]2) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab[/FONT]
[FONT="]3) a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab[/FONT]
[h=5]2. İki Küp Farkı – Toplamı[/h][FONT="]1) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2 )[/FONT]
[FONT="]2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2 )[/FONT]
[FONT="]3) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)[/FONT]
[FONT="]4) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)[/FONT]
[h=5]3. n. Dereceden Farkı – Toplamı[/h][FONT="]1) n bir sayma sayısı olmak üzere,[/FONT]
[FONT="]xn – yn = (x – y)(xn – 1 + xn – 2y + xn – 3 y2 + … + xyn – 2 + yn – 1) dir.[/FONT]
[FONT="]2) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,[/FONT]
[FONT="]xn + yn = (x + y)(xn – 1 – xn – 2y + xn – 3 y2 – … – xyn – 2 + yn – 1) dir.[/FONT]
[FONT="]4. Tam Kare İfadeler[/FONT]
[FONT="]1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2[/FONT]
[FONT="]2) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2[/FONT]
[FONT="]3) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)[/FONT]
[FONT="]4) (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)[/FONT]
[FONT="]5. (a ± b)n nin Açılımı[/FONT]
[h=3]Pascal Üçgeni[/h][FONT="]
[/FONT]
[FONT="](a + b)n açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.[/FONT]
[FONT="]Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak kat sayılar belirlenir.[/FONT]
[FONT="](a – b)n yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (–) işareti konulur.[/FONT]
[h=3]C. ax2 + bx + c BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN ÇARPANLARA AYRILMASI[/h][FONT="]ax2 + bx + c ifadesini çarpanlarına ayırırken birkaç yöntem kullanılır. Biz burada ikisini vereceğiz. En iyi öğrendiğiniz yöntemi daima kullanarak pratiklik sağlayınız.[/FONT]
[FONT="]1. YÖNTEM[/FONT]
[FONT="]1. a = 1 için,[/FONT]
[FONT="]b = m + n ve c = m × n olmak üzere,[/FONT]
[FONT="]
[/FONT]
[FONT="]2. a ¹ 1 İken[/FONT]
[FONT="]m × n = a, mp + qn = b ve c = q × p ise[/FONT]
[FONT="]
[/FONT]
[FONT="]ax2 + bx + c = (mx + q) × (nx + p) dir.[/FONT]
[FONT="]2. YÖNTEM[/FONT]
[FONT="]Çarpımı a × c yi,[/FONT]
[FONT="]toplamı b yi veren iki sayı bulunur.[/FONT]
[FONT="]Bulunan sayılar p ve r olsun.[/FONT]
[FONT="]Bu durumda,[/FONT]
[FONT="]
[/FONT]
[FONT="]
daki ifade gruplandırılarak çarpanlarına ayrılır.[/FONT]
[h=1]Çarpanlarına Ayırma[/h][h=3]A. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA[/h][FONT="]
| En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır. |
[FONT="]2) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab[/FONT]
[FONT="]3) a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab[/FONT]
[h=5]2. İki Küp Farkı – Toplamı[/h][FONT="]1) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2 )[/FONT]
[FONT="]2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2 )[/FONT]
[FONT="]3) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)[/FONT]
[FONT="]4) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)[/FONT]
[h=5]3. n. Dereceden Farkı – Toplamı[/h][FONT="]1) n bir sayma sayısı olmak üzere,[/FONT]
[FONT="]xn – yn = (x – y)(xn – 1 + xn – 2y + xn – 3 y2 + … + xyn – 2 + yn – 1) dir.[/FONT]
[FONT="]2) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,[/FONT]
[FONT="]xn + yn = (x + y)(xn – 1 – xn – 2y + xn – 3 y2 – … – xyn – 2 + yn – 1) dir.[/FONT]
[FONT="]4. Tam Kare İfadeler[/FONT]
[FONT="]1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2[/FONT]
[FONT="]2) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2[/FONT]
[FONT="]3) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)[/FONT]
[FONT="]4) (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)[/FONT]
| n bir tam sayı ve a ¹ b olmak üzere,• (a – b)2n = (b – a)2n• (a – b)2n – 1 = –(b – a)2n – 1 dir. |
| • (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab |
[h=3]Pascal Üçgeni[/h][FONT="]
[FONT="](a + b)n açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.[/FONT]
[FONT="]Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak kat sayılar belirlenir.[/FONT]
[FONT="](a – b)n yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (–) işareti konulur.[/FONT]
| • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3• (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4• (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4 |
| • a4 + a2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 – a + 1)• a4 + 4 = (a2 + 2a + 2)(a2– 2a + 2)• a4 + 4b4 = (a2 + 2ab + 2b2)(a2 – 2ab + 2b2) |
| a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) |
[FONT="]1. YÖNTEM[/FONT]
[FONT="]1. a = 1 için,[/FONT]
[FONT="]b = m + n ve c = m × n olmak üzere,[/FONT]
[FONT="]
[FONT="]2. a ¹ 1 İken[/FONT]
[FONT="]m × n = a, mp + qn = b ve c = q × p ise[/FONT]
[FONT="]
[FONT="]ax2 + bx + c = (mx + q) × (nx + p) dir.[/FONT]
[FONT="]2. YÖNTEM[/FONT]
[FONT="]Çarpımı a × c yi,[/FONT]
[FONT="]toplamı b yi veren iki sayı bulunur.[/FONT]
[FONT="]Bulunan sayılar p ve r olsun.[/FONT]
[FONT="]Bu durumda,[/FONT]
[FONT="]
[FONT="]