[FONT="]Bu ders notumuzda Matematik dersinin 2. Dereceden Denklemler konusu altında; 2.Dereceden Denklem Nedir? İkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Kümesinin Bulunuşu (Çarpanlara Ayırma Yöntemi, Diskiriminant (D) Yöntemi, İkinci Dereceden Denklemlerin Köklerini Bulma, Kökleri Verilen İkinci Dereceden Deklemin Yazılması, Üçüncü Dereceden Denklemler vb. başlıklar hakkında detaylı bilgileri bulabilirsiniz.[/FONT]
[h=1]İkinci Dereceden Denklemler[/h][FONT="]TANIM[/FONT]
[FONT="]a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,[/FONT]
[FONT="]ax2 + bx + c = 0[/FONT]
[FONT="]biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.[/FONT]
[FONT="]Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir.[/FONT]
[h=3]İKİNCİ DERECE DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU[/h][FONT="]1. Çarpanlara Ayırma Yöntemi[/FONT]
[FONT="]ax2 + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0[/FONT]
[FONT="]biçiminde yazılabiliyorsa[/FONT]
[FONT="]f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;[/FONT]
[FONT="]Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.[/FONT]
[FONT="]2. Diskiriminant (D) Yöntemi[/FONT]
[FONT="]ax2 + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve[/FONT]
[FONT="]D = b2 – 4ac ise, çözüm kümesi[/FONT]
[FONT="]ax2 + bx + c = 0[/FONT]
[FONT="]denkleminde, D = b2 – 4ac olsun.[/FONT]
[FONT="]a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır.[/FONT]
[FONT="]b) D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur.[/FONT]
[FONT="]c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır.[/FONT]
[FONT="]Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir.[/FONT]
[FONT="]Ü ax2 + bx + c = 0[/FONT]
[FONT="]denkleminin kökleri simetrik ise,[/FONT]
[FONT="]1) b = 0 ve a ¹ 0 dır.[/FONT]
[FONT="]2) Simetrik kökleri gerçel ise,[/FONT]
[FONT="]b = 0, a ¹ 0 ve a . c £ 0 dır.[/FONT]
[FONT="]C. İKİNCİ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAÐINTILAR[/FONT]
[FONT="]ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri[/FONT]
[FONT="]x1 ve x2 ise,[/FONT]
[FONT="] [/FONT]
[h=3]D. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI[/h][FONT="]Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem;[/FONT]
[FONT="](x – x1) (x – x2) = 0 dır. Bu ifade düzenlenirse,[/FONT]
[FONT="]x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 olur.[/FONT]
[FONT="]Ü ax2 + bx + c = 0 … (1) denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. Kökleri mx1 + n ve[/FONT]
[FONT="]
[/FONT]
[FONT="]Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0[/FONT]
[FONT="]a ¹ 0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.[/FONT]
[FONT="]B. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAÐINTILAR
[/FONT]
[FONT="]a ¹ 0 ve ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun. Buna göre,[/FONT]
[FONT="]C. KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ[/FONT]
[FONT="]DERECE DENKLEMİN YAZILMASI[/FONT]
[FONT="]Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem[/FONT]
[FONT="](x – x1) (x – x2) (x – x3) = 0 dır.[/FONT]
[FONT="]Bu denklem düzenlenirse,[/FONT]
[FONT="]x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3 = 0[/FONT]
[FONT="]olur.[/FONT]
[FONT="]Ü ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri[/FONT]
[FONT="]x1, x2, x3 olsun.[/FONT]
[FONT="]1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,[/FONT]
[FONT="]x1 + x3 = 2x2 dir.[/FONT]
[FONT="]2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,[/FONT]
[FONT="]3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,[/FONT]
[FONT="]x1 = x2 = x3 tür.[/FONT]
[FONT="]n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere,[/FONT]
[FONT="]anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0 = 0[/FONT]
[FONT="]denkleminin;[/FONT]
[FONT="]Kökleri toplamı :
[/FONT]
[FONT="][/FONT]
[FONT="]Kökleri çarpımı :
[/FONT]
[h=1]İkinci Dereceden Denklemler[/h][FONT="]TANIM[/FONT]
[FONT="]a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,[/FONT]
[FONT="]ax2 + bx + c = 0[/FONT]
[FONT="]biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.[/FONT]
[FONT="]Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir.[/FONT]
[h=3]İKİNCİ DERECE DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU[/h][FONT="]1. Çarpanlara Ayırma Yöntemi[/FONT]
[FONT="]ax2 + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0[/FONT]
[FONT="]biçiminde yazılabiliyorsa[/FONT]
[FONT="]f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;[/FONT]
[FONT="]Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.[/FONT]
[FONT="]2. Diskiriminant (D) Yöntemi[/FONT]
[FONT="]ax2 + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve[/FONT]
[FONT="]D = b2 – 4ac ise, çözüm kümesi[/FONT]
|
[FONT="]denkleminde, D = b2 – 4ac olsun.[/FONT]
[FONT="]a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır.[/FONT]
| Bu kökleri, |
|
[FONT="]c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır.[/FONT]
| Bu kökler, |
|
[FONT="]Ü ax2 + bx + c = 0[/FONT]
[FONT="]denkleminin kökleri simetrik ise,[/FONT]
[FONT="]1) b = 0 ve a ¹ 0 dır.[/FONT]
[FONT="]2) Simetrik kökleri gerçel ise,[/FONT]
[FONT="]b = 0, a ¹ 0 ve a . c £ 0 dır.[/FONT]
[FONT="]C. İKİNCİ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAÐINTILAR[/FONT]
[FONT="]ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri[/FONT]
[FONT="]x1 ve x2 ise,[/FONT]
|
|
[h=3]D. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI[/h][FONT="]Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem;[/FONT]
[FONT="](x – x1) (x – x2) = 0 dır. Bu ifade düzenlenirse,[/FONT]
[FONT="]x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 olur.[/FONT]
[FONT="]Ü ax2 + bx + c = 0 … (1) denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. Kökleri mx1 + n ve[/FONT]
mx2 + n olan ikinci dereceden denklem, (1) denkleminde x yerine
yazılarak bulunur.
[FONT="]Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise,[/FONT]
[FONT="]
[FONT="]Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0[/FONT]
denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise,
ax2 + bx + c = dx2 + ex + f
(a – d)x2 + (b – e)x + c – f = 0 dır.
Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar.
[h=3]ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER[/h][FONT="]A. TANIM[/FONT]ax2 + bx + c = dx2 + ex + f
(a – d)x2 + (b – e)x + c – f = 0 dır.
Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar.
[FONT="]a ¹ 0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.[/FONT]
[FONT="]B. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAÐINTILAR
[/FONT]
[FONT="]a ¹ 0 ve ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun. Buna göre,[/FONT]
|
|
[FONT="]DERECE DENKLEMİN YAZILMASI[/FONT]
[FONT="]Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem[/FONT]
[FONT="](x – x1) (x – x2) (x – x3) = 0 dır.[/FONT]
[FONT="]Bu denklem düzenlenirse,[/FONT]
[FONT="]x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3 = 0[/FONT]
[FONT="]olur.[/FONT]
[FONT="]Ü ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri[/FONT]
[FONT="]x1, x2, x3 olsun.[/FONT]
[FONT="]1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,[/FONT]
[FONT="]x1 + x3 = 2x2 dir.[/FONT]
[FONT="]2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,[/FONT]
[FONT="]3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,[/FONT]
[FONT="]x1 = x2 = x3 tür.[/FONT]
[FONT="]n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere,[/FONT]
[FONT="]anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0 = 0[/FONT]
[FONT="]denkleminin;[/FONT]
[FONT="]Kökleri toplamı :
[FONT="][/FONT]
[FONT="]Kökleri çarpımı :